Espaços vetoriais Engenharia Civil

 

Espaços vetoriais Engenharia Civil

Introdução

Um espaço vetorial é um conjunto de objetos matemáticos chamados vetores, que são combinados usando uma operação chamada adição vetorial e multiplicados por um número real usando uma operação chamada multiplicação escalar.

Definição

Um espaço vetorial é um conjunto V de vetores que satisfaz as seguintes condições:

• Adição vetorial: A soma de dois vetores em V é um vetor em V.
• Multiplicação escalar: A multiplicação de um vetor em V por um número real é um vetor em V.
• Associatividade: A soma de vetores é associativa.
• Comutatividade: A soma de vetores é comutativa.
• Elemento neutro: Existe um vetor 0 em V, tal que v + 0 = v para todos os vetores v em V.
• Elemento inverso aditivo: Para cada vetor v em V, existe um vetor -v em V, tal que v + (-v) = 0.
• Multiplicação escalar associativa: A multiplicação escalar é associativa.
• Distribuição: A multiplicação escalar é distributiva em relação à adição vetorial.

Exemplos

Exemplo 1

O conjunto dos números reais é um espaço vetorial. A adição vetorial é a adição usual de números reais e a multiplicação escalar é a multiplicação usual de números reais por números reais.

Exemplo 2

O conjunto dos vetores bidimensionais é um espaço vetorial. A adição vetorial é a adição vetorial usual de vetores bidimensionais e a multiplicação escalar é a multiplicação usual de números reais por vetores bidimensionais.

Exemplo 3

O conjunto dos vetores tridimensionais é um espaço vetorial. A adição vetorial é a adição vetorial usual de vetores tridimensionais e a multiplicação escalar é a multiplicação usual de números reais por vetores tridimensionais.

Aplicações em Engenharia Civil

Espaços vetoriais são usados em Engenharia Civil para representar uma variedade de informações, incluindo:

• Vetores de deslocamento: Os vetores de deslocamento são usados para representar o movimento de pontos em um espaço.
• Vetores de força: Os vetores de força são usados para representar as forças que atuam em um corpo.
• Vetores de tensão: Os vetores de tensão são usados para representar as tensões que atuam em um material.

Exemplos de aplicações de espaços vetoriais em Engenharia Civil

Análise de estruturas

• Cálculo das forças em uma viga: Os vetores de força são usados para representar as forças que atuam em uma viga. A soma desses vetores é igual ao vetor resultante das forças.
• Cálculo dos deslocamentos em uma coluna: Os vetores de deslocamento são usados para representar os deslocamentos de uma coluna. A soma desses vetores é igual ao vetor resultante dos deslocamentos.

Análise de materiais

• Cálculo das tensões em um material: Os vetores de tensão são usados para representar as tensões que atuam em um material. A soma desses vetores é igual ao vetor resultante das tensões.
• Cálculo das deformações em um material: Os vetores de deslocamento são usados para representar as deformações em um material. A soma desses vetores é igual ao vetor resultante das deformações.

Projeto de estruturas

• Otimização do projeto de uma viga: Os vetores de deslocamento e força são usados para representar as restrições e objetivos de um problema de otimização. A soma desses vetores é igual ao vetor resultante das restrições e objetivos.
• Projeto de uma estrutura com várias cargas: Os vetores de força são usados para representar as forças que atuam em uma estrutura com várias cargas. A soma desses vetores é igual ao vetor resultante das forças.

Conclusão

Espaços vetoriais são conceitos fundamentais em Matemática e Engenharia Civil. Eles são usados para representar uma variedade de informações e para resolver uma variedade de problemas.