Teorema de Laplace

 

O Teorema de Laplace, também conhecido como expansão de Laplace, é uma técnica usada para calcular o determinante de matrizes de ordem maior (geralmente matrizes $n \times n$ com $n \geq 3$). Esse teorema permite calcular o determinante de uma matriz $A$ de ordem $n \times n$ expandindo-o em termos dos determinantes de matrizes menores.

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Teorema de Laplace (Expansão por Cofatores)

Seja $A = [a_{ij}]$ uma matriz quadrada de ordem $n \times n$, e $A_{ij}$ a submatriz obtida ao remover a $i$-ésima linha e a $j$-ésima coluna de $A$. O determinante de $A$ pode ser calculado pela expansão por cofatores ao longo de uma linha ou coluna.

A expansão de Laplace é dada pela fórmula:

$$\text{det}(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \text{det}(A_{ij})$$

ou

$$\text{det}(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \text{det}(A_{ij})$$

onde:

• $a_{ij}$ são os elementos da matriz $A$,
• $A_{ij}$ é a submatriz obtida removendo a $i$-ésima linha e a $j$-ésima coluna de $A$,
• $(-1)^{i+j}$ é o cofator associado ao elemento $a_{ij}$.

Expansão ao Longo de uma Linha ou Coluna:

O determinante de $A$ pode ser expandido ao longo de qualquer linha ou coluna de $A$. A escolha de linha ou coluna pode tornar os cálculos mais fáceis dependendo dos valores que ela contém. A fórmula acima pode ser usada tanto expandindo ao longo de uma linha quanto de uma coluna.

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Exemplo Prático:

Vamos calcular o determinante de uma matriz $3 \times 3$ utilizando o Teorema de Laplace.

Considere a matriz $A$:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

Vamos expandir o determinante ao longo da primeira linha:

$$\text{det}(A) = 1 \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} - 2 \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} + 3 \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

Agora, vamos calcular os determinantes das matrizes $2 \times 2$:

1. $\text{det}\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} = (5 \times 9) - (6 \times 8) = 45 - 48 = -3$
2. $\text{det}\begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} = (4 \times 9) - (6 \times 7) = 36 - 42 = -6$
3. $\text{det}\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = (4 \times 8) - (5 \times 7) = 32 - 35 = -3$

Substituindo esses valores de volta na expansão:

$$\text{det}(A) = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3)$$ $$\text{det}(A) = -3 + 12 - 9 = 0$$

Portanto, o determinante da matriz $A$ é 0, o que implica que $A$ é uma matriz singular (não invertível).

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Propriedades Importantes da Expansão de Laplace

1. Qualquer linha ou coluna pode ser escolhida: O Teorema de Laplace permite a expansão ao longo de qualquer linha ou coluna da matriz. A escolha de uma linha ou coluna com muitos zeros pode simplificar os cálculos.

2. Cofatores: O valor $(-1)^{i+j}$ é o cofator do elemento $a_{ij}$, e ele alterna entre $+1$ e $-1$ dependendo das posições da linha e coluna (isso é necessário para manter a propriedade antissimetria do determinante).

3. Determinante de Matrizes de Ordem Maior: A expansão de Laplace é uma técnica recursiva, pois ela reduz o cálculo do determinante de uma matriz $n \times n$ para o cálculo de determinantes de submatrizes $(n-1) \times (n-1)$. Isso continua até chegar a matrizes de ordem $2 \times 2$, cujos determinantes são fáceis de calcular.

4. Eficiência: Embora o Teorema de Laplace seja útil, sua complexidade aumenta muito à medida que a ordem da matriz cresce. Para matrizes de ordem maior, técnicas mais eficientes, como a decomposição LU, são frequentemente usadas.

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Conclusão

O Teorema de Laplace é uma ferramenta poderosa para calcular determinantes, especialmente em matrizes de ordem maior. Sua principal vantagem é a capacidade de expandir o determinante ao longo de qualquer linha ou coluna da matriz, tornando-o um método versátil, embora não necessariamente o mais eficiente para matrizes grandes.