Vetores em R² e R³

 

Vetores em $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$ são representações geométricas e algébricas fundamentais da álgebra linear. Eles são usados para representar pontos ou direções no espaço bidimensional ($\mathbb{R}^2$) e tridimensional ($\mathbb{R}^3$).

Aqui está uma explicação sobre os vetores em $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$, suas propriedades e operações.

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1. Vetores em $\mathbb{R}^2$ (Plano Bidimensional)

Um vetor em $\mathbb{R}^2$ é uma lista ordenada de dois números reais, geralmente representados como $\mathbf{v} = (v_1, v_2)$, onde $v_1$ e $v_2$ são as coordenadas do vetor em relação a dois eixos (geralmente $x$ e $y$).

Representação Geométrica:

No plano $\mathbb{R}^2$, um vetor pode ser visualizado como uma seta, que começa na origem $(0, 0)$ e aponta para o ponto $(v_1, v_2)$. A direção e a magnitude (tamanho) do vetor são determinadas pelos valores $v_1$ e $v_2$.

Exemplo:

O vetor $\mathbf{v} = (3, 4)$ em $\mathbb{R}^2$ representa uma seta que vai do ponto $(0, 0)$ até o ponto $(3, 4)$ no plano.

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2. Vetores em $\mathbb{R}^3$ (Espaço Tridimensional)

Um vetor em $\mathbb{R}^3$ é uma lista ordenada de três números reais, representados como $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$, onde $v_1$, $v_2$, e $v_3$ são as coordenadas do vetor em relação aos três eixos $x$, $y$ e $z$, respectivamente.

Representação Geométrica:

No espaço tridimensional $\mathbb{R}^3$, um vetor é representado por uma seta que começa na origem $(0, 0, 0)$ e termina no ponto $(v_1, v_2, v_3)$. A direção e a magnitude do vetor são determinadas pelas suas componentes $v_1$, $v_2$, e $v_3$.

Exemplo:

O vetor $\mathbf{v} = (2, -3, 5)$ em $\mathbb{R}^3$ representa uma seta que começa na origem $(0, 0, 0)$ e vai para o ponto $(2, -3, 5)$ no espaço tridimensional.

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3. Operações com Vetores em $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$

Soma de Vetores:

A soma de vetores é realizada somando as componentes correspondentes dos vetores.

• Em $\mathbb{R}^2$: Se $\mathbf{v}_1 = (v_{1,1}, v_{1,2})$ e $\mathbf{v}_2 = (v_{2,1}, v_{2,2})$, então:

  $$\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 = (v_{1,1} + v_{2,1}, v_{1,2} + v_{2,2})$$

• Em $\mathbb{R}^3$: Se $\mathbf{v}_1 = (v_{1,1}, v_{1,2}, v_{1,3})$ e $\mathbf{v}_2 = (v_{2,1}, v_{2,2}, v_{2,3})$, então:

  $$\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 = (v_{1,1} + v_{2,1}, v_{1,2} + v_{2,2}, v_{1,3} + v_{2,3})$$

Multiplicação de Vetores por Escalar:

A multiplicação de um vetor por um escalar consiste em multiplicar cada componente do vetor pelo escalar $c$.

• Em $\mathbb{R}^2$: Se $\mathbf{v} = (v_1, v_2)$ e $c$ for um escalar, então:

  $$c\mathbf{v} = (c v_1, c v_2)$$

• Em $\mathbb{R}^3$: Se $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$ e $c$ for um escalar, então:

  $$c\mathbf{v} = (c v_1, c v_2, c v_3)$$

Produto Escalar:

O produto escalar (ou produto interno) de dois vetores é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes.

• Em $\mathbb{R}^2$: Se $\mathbf{v}_1 = (v_{1,1}, v_{1,2})$ e $\mathbf{v}_2 = (v_{2,1}, v_{2,2})$, então:

  $$\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = v_{1,1} v_{2,1} + v_{1,2} v_{2,2}$$

• Em $\mathbb{R}^3$: Se $\mathbf{v}_1 = (v_{1,1}, v_{1,2}, v_{1,3})$ e $\mathbf{v}_2 = (v_{2,1}, v_{2,2}, v_{2,3})$, então:

  $$\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = v_{1,1} v_{2,1} + v_{1,2} v_{2,2} + v_{1,3} v_{2,3}$$

Módulo de um Vetor:

O módulo (ou magnitude) de um vetor $\mathbf{v} = (v_1, v_2)$ em $\mathbb{R}^2$ é dado por:

$$|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$$

E o módulo de um vetor $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$ em $\mathbb{R}^3$ é:

$$|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$$

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4. Propriedades Geométricas:

• Direção: A direção de um vetor é dada pela linha reta na qual o vetor está alinhado. Dois vetores $\mathbf{v}_1$ e $\mathbf{v}_2$ têm a mesma direção se um for múltiplo escalar do outro.

• Magnitude: A magnitude de um vetor $\mathbf{v}$ é sua "distância" da origem no espaço. Pode ser interpretada como o comprimento da seta que representa o vetor.

• Ângulo entre Vetores: O cosseno do ângulo $\theta$ entre dois vetores $\mathbf{v}_1$ e $\mathbf{v}_2$ é dado por:

  $$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2}{|\mathbf{v}_1| |\mathbf{v}_2|}$$

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Conclusão 🏁

Vetores em $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$ são essenciais para a geometria, a física, a engenharia, e muitas outras áreas. Eles podem ser somados, multiplicados por escalares e usados para modelar e resolver problemas no plano e no espaço tridimensional. Compreender suas propriedades e operações é fundamental para muitas aplicações da matemática.