Métodos de Solução de Sistemas Lineares

 

Os métodos de solução de sistemas lineares são técnicas utilizadas para encontrar as soluções de um sistema de equações lineares. Dependendo do tamanho do sistema e das suas propriedades, alguns métodos podem ser mais eficientes que outros. Vamos explorar os principais métodos:

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1. Métodos Exatos (Diretos)

Os métodos diretos fornecem a solução exata do sistema (quando possível) em um número finito de operações.

1.1 Regra de Cramer 📏

A Regra de Cramer é um método para resolver sistemas lineares que possuem o mesmo número de equações e incógnitas ($n \times n$), desde que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero ($\det(A) \neq 0$).

Fórmula

Se temos um sistema na forma matricial:

$$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$

onde $A$ é a matriz dos coeficientes, $\mathbf{x}$ é o vetor das incógnitas e $\mathbf{b}$ é o vetor dos termos independentes, então a solução é dada por:

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

onde $A_i$ é a matriz obtida substituindo a $i$-ésima coluna de $A$ pelo vetor $\mathbf{b}$.

Exemplo

Resolver o sistema:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases}$$

A matriz dos coeficientes é:

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$$

Calculamos seu determinante:

$$\det(A) = (2)(-2) - (1)(3) = -4 - 3 = -7$$

Agora substituímos cada coluna pelo vetor $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}$:

Para $x$:

$$A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$$ $$\det(A_x) = (5)(-2) - (1)(4) = -10 - 4 = -14$$

Para $y$:

$$A_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ $$\det(A_y) = (2)(4) - (5)(3) = 8 - 15 = -7$$

As soluções são:

$$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-14}{-7} = 2, \quad y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-7}{-7} = 1$$

Portanto, a solução é $(x, y) = (2, 1)$.

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1.2 Método da Eliminação de Gauss 🧮

Esse método transforma o sistema em uma forma triangular superior e depois resolve-o por substituição retroativa.

Passos

1. Eliminação: Aplicamos operações elementares para zerar os coeficientes abaixo da diagonal principal.

2. Substituição Retroativa: Resolvemos as equações de trás para frente.

Exemplo

Resolver o sistema:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + 2z = 14 \\ y + 2z = 8 \end{cases}$$

Convertendo para a forma matricial aumentada:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 2 & 14 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \end{array} \right]$$

1. Zeramos o primeiro elemento da segunda linha subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \end{array} \right]$$

2. Zeramos o primeiro elemento da terceira linha subtraindo a segunda linha da terceira:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \end{array} \right]$$

Agora resolvemos por substituição retroativa:

$$2z = 6 \Rightarrow z = 3$$ $$y = 2$$ $$x + 2 + 3 = 6 \Rightarrow x = 1$$

Portanto, a solução é $(x, y, z) = (1,2,3)$.

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2. Métodos Iterativos (Aproximados)

Os métodos iterativos são úteis para sistemas grandes, onde os métodos diretos podem ser ineficientes.

2.1 Método de Gauss-Jacobi

Consiste em aproximar as soluções e refiná-las iterativamente.

Passos:

1. Isolamos cada variável em sua equação.

2. Escolhemos um chute inicial para as incógnitas.

3. Iteramos até obter a convergência.

Exemplo

Para o sistema:

$$\begin{cases} 10x + y + z = 6 \\ 2x + 10y + z = 4 \\ x + 2y + 10z = 5 \end{cases}$$

1. Isolamos $x, y, z$:

$$x = \frac{6 - y - z}{10}, \quad y = \frac{4 - 2x - z}{10}, \quad z = \frac{5 - x - 2y}{10}$$

2. Damos um chute inicial, por exemplo, $(x_0, y_0, z_0) = (0,0,0)$.

3. Substituímos e iteramos até atingir precisão desejada.

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2.2 Método de Gauss-Seidel

Semelhante ao de Gauss-Jacobi, mas utiliza os valores mais recentes assim que são calculados.

Vantagem: Converge mais rápido que o Gauss-Jacobi.

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Conclusão

Os métodos para resolver sistemas lineares podem ser escolhidos conforme o contexto:

🔹 Métodos diretos (Cramer, Gauss) são ideais para sistemas pequenos e bem condicionados.
🔹 Métodos iterativos (Jacobi, Gauss-Seidel) são úteis para sistemas grandes e esparsos.