Espaços Vetoriais
Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfazem as seguintes axiomas:
- Adição de vetores: A soma de dois vetores em um espaço vetorial é outro vetor no espaço vetorial.
- Multiplicação por escalares: A multiplicação de um vetor por um escalar em um espaço vetorial é outro vetor no espaço vetorial.
- Associatividade da soma de vetores: A soma de três vetores em um espaço vetorial é independente da ordem em que os vetores são somados.
- Comutatividade da soma de vetores: A soma de dois vetores em um espaço vetorial é o mesmo, independentemente da ordem em que os vetores são somados.
- Distribuição da multiplicação por escalares sobre a soma de vetores: A multiplicação de um escalar por um vetor e, em seguida, a soma de outro vetor é o mesmo que multiplicar o escalar pelo vetor resultante da soma.
- Unidade do espaço vetorial: Existe um vetor nulo no espaço vetorial, que é o vetor que, quando somado a qualquer outro vetor, não altera o vetor.
- Oposto de um vetor: Para todo vetor em um espaço vetorial, existe um vetor oposto, que, quando somado ao vetor original, resulta no vetor nulo.
Exemplos de Espaços Vetoriais
- O conjunto de todos os vetores bidimensionais
- O conjunto de todas as matrizes quadradas
- O conjunto de todas as funções contínuas em um intervalo fechado
- O conjunto de todas as soluções de um sistema de equações lineares
Aplicação de Espaços Vetoriais em Engenharia Mecânica
Espaços vetoriais são usados em uma ampla variedade de aplicações em engenharia mecânica, incluindo:
- Análise de sistemas dinâmicos
- Análise de estrutura
- Análise de fluidos
- Análise de controle
Exemplos de aplicação de Espaços Vetoriais em Engenharia Mecânica
Análise de sistemas dinâmicos
Em análise de sistemas dinâmicos, os vetores são usados para representar a posição, a velocidade e a aceleração de um sistema. As equações de movimento do sistema podem ser escritas como equações diferenciais que relacionam os vetores de posição, velocidade e aceleração.
Análise de estrutura
Em análise de estrutura, os vetores são usados para representar as forças e os deslocamentos de uma estrutura. As equações de equilíbrio da estrutura podem ser escritas como equações algébricas que relacionam as forças e os deslocamentos.
Análise de fluidos
Em análise de fluidos, os vetores são usados para representar a velocidade, a pressão e a temperatura de um fluido. As equações de conservação da massa, do momento e da energia podem ser escritas como equações diferenciais que relacionam as propriedades do fluido.
Análise de controle
Em análise de controle, os vetores são usados para representar o estado de um sistema e as entradas de controle do sistema. As equações de controle do sistema podem ser escritas como equações diferenciais que relacionam o estado do sistema e as entradas de controle.
Conclusão
Espaços vetoriais são uma ferramenta matemática poderosa que pode ser usada em uma ampla variedade de aplicações em engenharia mecânica.