Séries de Fourier - Cálculo III Engenharia Mecânica

 

Séries de Fourier

Séries de Fourier são séries de funções trigonométricas que podem ser usadas para representar funções periódicas. Elas são usadas em uma ampla variedade de aplicações, incluindo:

• Engenharia mecânica: Séries de Fourier são usadas para analisar vibrações, ondas e sistemas de controle.
• Engenharia elétrica: Séries de Fourier são usadas para analisar circuitos elétricos e sinais elétricos.
• Engenharia de sinal: Séries de Fourier são usadas para analisar sinais e sistemas.
• Matemática: Séries de Fourier são usadas para estudar funções periódicas e equações diferenciais.

Definição de Série de Fourier

Uma série de Fourier de uma função periódica $f(t)$ é uma série da forma:

$$f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\cos (nt)+b_n\sin (nt)$$

Onde $a_n$ e $b_n$ são os coeficientes da série.

Coeficientes de Fourier

Os coeficientes de Fourier $a_n$ e $b_n$ podem ser encontrados usando as seguintes fórmulas:

$$a_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)\cos (nt)dt$$

$$b_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)\sin (nt)dt$$

Propriedades das Séries de Fourier

Séries de Fourier têm várias propriedades importantes, incluindo:

• A série converge para $f(t)$ em todos os pontos onde $f(t)$ é contínuo.
• A série converge para $f(t)$ em todos os pontos onde $f(t)$ é descontínuo, com exceção dos pontos de descontinuidade de salto.
• A série converge para a média de $f(t)$ entre os pontos de descontinuidade de salto.

Aplicações das Séries de Fourier

Séries de Fourier podem ser usadas para resolver uma ampla variedade de problemas. Por exemplo, as séries de Fourier podem ser usadas para:

• Analisar vibrações: Séries de Fourier podem ser usadas para analisar as vibrações de um objeto. A frequência de vibração de um objeto pode ser encontrada calculando a frequência de maior amplitude na série de Fourier da função de deslocamento do objeto.
• Analisar ondas: Séries de Fourier podem ser usadas para analisar ondas. A velocidade de uma onda pode ser encontrada calculando a frequência de maior amplitude na série de Fourier da função de deslocamento da onda.
• Analisar sistemas de controle: Séries de Fourier podem ser usadas para analisar sistemas de controle. A resposta de um sistema de controle a um sinal de entrada pode ser encontrada calculando a série de Fourier da função de entrada e usando a série de Fourier da função de transferência do sistema.

Séries de Fourier são uma ferramenta poderosa que pode ser usada para resolver uma ampla variedade de problemas.