Transformada de Laplace - Cálculo III Engenharia Mecânica

 

Transformada de Laplace

A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que permite transformar funções de tempo em funções de frequência. Ela é usada em uma ampla variedade de aplicações, incluindo:

• Engenharia mecânica: A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais ordinárias e parciais.
• Engenharia elétrica: A transformada de Laplace é usada para analisar circuitos elétricos.
• Engenharia de controle: A transformada de Laplace é usada para projetar sistemas de controle.
• Engenharia de sinal: A transformada de Laplace é usada para analisar sinais e sistemas.

Definição da Transformada de Laplace

A transformada de Laplace de uma função $f(t)$ é definida como:

$$\mathcal{L}[f(t)]={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$

Onde $s$ é uma variável complexa.

Propriedades da Transformada de Laplace

A transformada de Laplace tem várias propriedades importantes, incluindo:

• Linearidade: $\mathcal{L}[af(t)+bg(t)]=a\mathcal{L}[f(t)]+b\mathcal{L}[g(t)]$
• Convolução: $\mathcal{L}[f(t)\ast g(t)]=\mathcal{L}[f(t)]\cdot \mathcal{L}[g(t)]$
• Transformada de Laplace de uma função derivada: $\mathcal{L}[f^{\prime }(t)]=s\mathcal{L}[f(t)]-f(0)$
• Transformada de Laplace de uma função integral: $\mathcal{L}\left[{\int }_0^{t}f(u)du\right]=\frac{1}{s}\mathcal{L}[f(t)]$

Transformada de Laplace de algumas funções comuns

Aqui estão algumas transformadas de Laplace de funções comuns:

• $f(t)=u(t)$: $\mathcal{L}[u(t)]=\frac{1}{s}$
• $f(t)=e^{kt}$: $\mathcal{L}[e^{kt}]=\frac{1}{s-k}$
• $f(t)=t^n$: $\mathcal{L}[t^n]=\frac{n!}{s^{n+1}}$
• $f(t)=\sin (kt)$: $\mathcal{L}[\sin (kt)]=\frac{k}{s^2+k^2}$
• $f(t)=\cos (kt)$: $\mathcal{L}[\cos (kt)]=\frac{s}{s^2+k^2}$

Aplicações da Transformada de Laplace

A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equações diferenciais ordinárias e parciais. Por exemplo, a equação diferencial ordinária $y^{\prime \prime }+ky=f(t)$ pode ser transformada em $s^{2}Y(s)+ky(0)+y^{\prime }(0)=F(s)$, onde $Y(s)$ é a transformada de Laplace de $y(t)$. Resolvendo esta equação para $Y(s)$, podemos encontrar a solução $y(t)$ da equação diferencial original.

A transformada de Laplace também pode ser usada para analisar circuitos elétricos. Por exemplo, a equação que descreve o comportamento de um circuito RL é $L\frac{dy}{dt}+Ry=E(t)$. Transformando esta equação em Laplace, obtemos $sLY(s)+RY(s)=E(s)$. Resolvendo esta equação para $Y(s)$, podemos encontrar a solução $y(t)$ da equação original.

A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que pode ser usada para resolver uma ampla variedade de problemas.