Séries de Fourier - Cálculo Diferencial e Integral III Engenheiros Elétricos
Introdução
As séries de Fourier são uma ferramenta matemática que permite representar funções periódicas como uma soma infinita de funções trigonométricas básicas, como seno e cosseno.
Definição
Uma série de Fourier é uma série da forma:
f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos{nx} + b_n \sin{nx})
Onde:
- a_n e b_n são os coeficientes de Fourier da série
- x é a variável independente
Cálculo dos coeficientes de Fourier
Os coeficientes de Fourier de uma série de Fourier podem ser calculados usando as seguintes fórmulas:
a_0 = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos{nx} \, dx
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin{nx} \, dx
Propriedades das séries de Fourier
As séries de Fourier têm as seguintes propriedades:
Soma: A soma de duas séries de Fourier é outra série de Fourier.
Produto: O produto de duas séries de Fourier é outra série de Fourier.
Transformação de Fourier: A transformada de Fourier de uma série de Fourier é outra série de Fourier.
Exemplos de séries de Fourier
Aqui estão alguns exemplos de séries de Fourier:
- A função seno:
f(x) = sin(x) = a_0 + a_1 \cos{x} + a_2 \cos{2x} + ...
- A função cosseno:
f(x) = cos(x) = a_0 + b_1 \sin{x} + b_2 \sin{2x} + ...
- A função retangular:
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & \text{se } |x| \le \frac{\pi}{2} \\
0 & \text{se } |x| > \frac{\pi}{2}
\end{array}
\right.
f(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cos{x} + \frac{1}{8} \cos{2x} + ...
- A função triangular:
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
x & \text{se } |x| \le \frac{\pi}{2} \\
0 & \text{se } |x| > \frac{\pi}{2}
\end{array}
\right.
f(x) = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{4} \cos{x} + \frac{1}{8} \cos{2x} + ...
Aplicações das séries de Fourier
As séries de Fourier têm uma ampla gama de aplicações, incluindo:
Análise de sinais: As séries de Fourier podem ser usadas para analisar sinais periódicos, como sinais elétricos e sonoros.
Processamento de sinais: As séries de Fourier podem ser usadas para processar sinais periódicos, como filtragem, equalização e compressão.
Teoria da aproximação: As séries de Fourier podem ser usadas para aproximar funções periódicas.
Conclusão
As séries de Fourier são uma ferramenta matemática poderosa que pode ser usada para representar funções periódicas de uma forma compacta e eficiente. Elas têm uma ampla gama de aplicações em engenharia elétrica, incluindo análise de sinais, processamento de sinais e teoria da aproximação.