Técnicas de IntegraçãoTécnicas de Integração - Cálculo Diferencial e Integral II Engenheiros Elétricos

    

Técnicas de Integração - Cálculo Diferencial e Integral II Engenheiros Elétricos

Integração por Partes

Definição

A integração por partes é uma técnica que permite integrar funções do tipo $u(x)v^{\prime }(x)$. Ela é baseada na seguinte fórmula:

∫ u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫ u'(x)v(x) dx

Aplicação

Vamos usar a integração por partes para integrar a seguinte função:

∫ x^2e^x dx

Aqui, $u(x)=x^2$ e $v^{\prime }(x)=e^x$. Então, temos:

∫ x^2e^x dx = x^2e^x - ∫ 2xe^x dx

Agora, vamos integrar novamente usando a integração por partes, com $u(x)=2x$ e $v^{\prime }(x)=e^x$. Temos:

x^2e^x - ∫ 2xe^x dx = x^2e^x - 2xe^x + ∫ 2e^x dx

A integral final pode ser resolvida usando a regra da potência:

∫ 2e^x dx = 2e^x

Portanto, temos:

x^2e^x - ∫ 2xe^x dx = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x

Resolvendo a equação, obtemos:

∫ x^2e^x dx = (x^2 - 2x + 2)e^x

Exemplo

Vamos usar a integração por partes para integrar a seguinte função:

∫ x^2cos(x) dx

Aqui, $u(x)=x^2$ e $v^{\prime }(x)=cos(x)$. Então, temos:

∫ x^2cos(x) dx = x^2sin(x) - ∫ 2xsin(x) dx

Agora, vamos integrar novamente usando a integração por partes, com $u(x)=2x$ e $v^{\prime }(x)=sin(x)$. Temos:

x^2sin(x) - ∫ 2xsin(x) dx = x^2sin(x) - 2xcos(x) + ∫ 2cos(x) dx

A integral final pode ser resolvida usando a regra da tangente:

∫ 2cos(x) dx = 2sin(x)

Portanto, temos:

x^2sin(x) - ∫ 2xsin(x) dx = x^2sin(x) - 2xcos(x) + 2sin(x)

Resolvendo a equação, obtemos:

∫ x^2cos(x) dx = x^2sin(x) - 2xcos(x) + 2sin(x)

Conclusão

A integração por partes é uma ferramenta poderosa que pode ser usada para integrar uma ampla gama de funções. Ela é baseada na ideia de separar uma função em duas partes, cada uma das quais pode ser integrada mais facilmente.