Transformada de Laplace - Cálculo Diferencial e Integral III Engenheiros Elétricos
Introdução
A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que permite transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência.
Definição
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como:
F(s) = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt
Onde:
- s é uma variável complexa
Propriedades da transformada de Laplace
As transformadas de Laplace têm as seguintes propriedades:
Linearidade: A transformada de Laplace de uma soma de funções é a soma das transformadas de Laplace das funções individuais.
Multiplicação: A transformada de Laplace do produto de duas funções é a convolução das transformadas de Laplace das funções individuais.
Derivada: A transformada de Laplace da derivada de uma função é s vezes a transformada de Laplace da função original.
Integração: A transformada de Laplace da integral de uma função é a transformada de Laplace da função original, dividida por s.
Exemplos de transformadas de Laplace
Aqui estão alguns exemplos de transformadas de Laplace:
- A função exponencial:
f(t) = e^t
F(s) = \frac{1}{s-1}
- A função senoidal:
f(t) = sin(t)
F(s) = \frac{1}{s^2 + 1}
- A função cossenoidal:
f(t) = cos(t)
F(s) = \frac{s}{s^2 + 1}
Aplicações da transformada de Laplace
A transformada de Laplace tem uma ampla gama de aplicações, incluindo:
Análise de sistemas lineares: A transformada de Laplace pode ser usada para analisar sistemas lineares, como circuitos elétricos e sistemas de controle.
Resolução de equações diferenciais: A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equações diferenciais.
Filtragem: A transformada de Laplace pode ser usada para projetar filtros.
Conclusão
A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática poderosa que pode ser usada para resolver uma ampla gama de problemas em engenharia elétrica.