Transformada de Laplace - Cálculo Diferencial e Integral III Engenheiros Elétricos

  

Transformada de Laplace - Cálculo Diferencial e Integral III Engenheiros Elétricos

Introdução

A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que permite transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência.

Definição

A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como:

F(s) = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt

Onde:

• s é uma variável complexa

Propriedades da transformada de Laplace

As transformadas de Laplace têm as seguintes propriedades:

• Linearidade: A transformada de Laplace de uma soma de funções é a soma das transformadas de Laplace das funções individuais.

• Multiplicação: A transformada de Laplace do produto de duas funções é a convolução das transformadas de Laplace das funções individuais.

• Derivada: A transformada de Laplace da derivada de uma função é s vezes a transformada de Laplace da função original.

• Integração: A transformada de Laplace da integral de uma função é a transformada de Laplace da função original, dividida por s.

Exemplos de transformadas de Laplace

Aqui estão alguns exemplos de transformadas de Laplace:

• A função exponencial:

f(t) = e^t

F(s) = \frac{1}{s-1}

• A função senoidal:

f(t) = sin(t)

F(s) = \frac{1}{s^2 + 1}

• A função cossenoidal:

f(t) = cos(t)

F(s) = \frac{s}{s^2 + 1}

Aplicações da transformada de Laplace

A transformada de Laplace tem uma ampla gama de aplicações, incluindo:

• Análise de sistemas lineares: A transformada de Laplace pode ser usada para analisar sistemas lineares, como circuitos elétricos e sistemas de controle.

• Resolução de equações diferenciais: A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equações diferenciais.

• Filtragem: A transformada de Laplace pode ser usada para projetar filtros.

Conclusão

A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática poderosa que pode ser usada para resolver uma ampla gama de problemas em engenharia elétrica.