Determinantes e Suas Propriedades

 

O determinante é uma função associada a uma matriz quadrada que fornece informações importantes sobre suas propriedades, como se a matriz é invertível e o volume associado a transformações lineares. O determinante está presente em diversas áreas da matemática e tem uma série de propriedades que facilitam o seu cálculo e a sua interpretação.

---

1. Determinante de Matrizes 2x2 🔺

Para uma matriz $2 \times 2$, o determinante é calculado de forma simples.

Fórmula:

Se $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ é uma matriz $2 \times 2$, então o determinante de $A$ é:

$$\text{det}(A) = ad - bc$$

Exemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$$ $$\text{det}(A) = (3)(5) - (4)(2) = 15 - 8 = 7$$

---

2. Determinante de Matrizes 3x3 🧮

Para uma matriz $3 \times 3$, o determinante é um pouco mais complexo, mas pode ser calculado utilizando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores.

Regra de Sarrus:

Se $A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ é uma matriz $3 \times 3$, o determinante de $A$ pode ser calculado utilizando a regra de Sarrus, da seguinte forma:

$$\text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$

Exemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

Aplicando a regra de Sarrus:

$$\text{det}(A) = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)$$ $$\text{det}(A) = 1 \cdot (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35)$$ $$\text{det}(A) = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3)$$ $$\text{det}(A) = -3 + 12 - 9 = 0$$

Ou seja, o determinante da matriz $A$ é 0, o que significa que a matriz não é invertível.

---

3. Propriedades dos Determinantes ⚖️

Aqui estão algumas das propriedades mais importantes dos determinantes, que podem facilitar o cálculo e a interpretação de matrizes:

Propriedade 1: Determinante de uma Matriz Identidade

O determinante de qualquer matriz identidade $I_n$ (onde $n$ é a ordem da matriz) é sempre igual a 1.

$$\text{det}(I_n) = 1$$

Propriedade 2: Determinante de uma Matriz Nula

O determinante de uma matriz nula (onde todos os elementos são zero) é sempre igual a 0.

$$\text{det}(0) = 0$$

Propriedade 3: Determinante de uma Matriz Transposta

O determinante da matriz transposta de $A$ é igual ao determinante de $A$.

$$\text{det}(A^T) = \text{det}(A)$$

Propriedade 4: Multiplicação de Matrizes

O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes.

$$\text{det}(A \times B) = \text{det}(A) \times \text{det}(B)$$

Propriedade 5: Matriz Invertível

Uma matriz $A$ é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

$$A \text{ é invertível} \quad \text{se} \quad \text{det}(A) \neq 0$$

Se $\text{det}(A) = 0$, a matriz $A$ é singular e não possui inversa.

Propriedade 6: Troca de Linhas (ou Colunas)

Se duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz são trocadas, o determinante da matriz é multiplicado por $-1$.

$$\text{det}(A') = -\text{det}(A)$$

onde $A'$ é a matriz obtida de $A$ trocando duas linhas ou colunas.

Propriedade 7: Linha ou Coluna Nula

Se uma matriz tem uma linha ou coluna inteira igual a zero, então o determinante dessa matriz é zero.

$$\text{det}(A) = 0 \quad \text{se uma linha ou coluna de } A \text{ for nula.}$$

Propriedade 8: Escalonamento (Multiplicação de Linha por um Escalar)

Se todas as entradas de uma linha (ou coluna) de uma matriz são multiplicadas por um escalar $k$, o determinante da matriz é multiplicado por $k$.

$$\text{det}(kA) = k \cdot \text{det}(A)$$

onde $k$ é o escalar e $A$ é a matriz.

Propriedade 9: Soma de Linhas ou Colunas

Se uma linha (ou coluna) de uma matriz for uma combinação linear das outras linhas (ou colunas), o determinante da matriz será zero.

$$\text{det}(A) = 0 \quad \text{se uma linha ou coluna for uma combinação linear das outras.}$$

---

4. Cálculo do Determinante por Expansão por Cofatores 🔄

Para matrizes de ordem maior (por exemplo, $4 \times 4$ ou $5 \times 5$), o determinante pode ser calculado pela expansão por cofatores. Essa técnica envolve calcular o determinante de submatrizes menores e multiplicar por cofatores.

Fórmula (expansão de Laplace):

Se $A = [a_{ij}]$ é uma matriz $n \times n$, o determinante de $A$ pode ser expresso como:

$$\text{det}(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \text{det}(A_{ij})$$

onde $A_{ij}$ é a submatriz que resulta de remover a linha $i$ e a coluna $j$ de $A$, e $(-1)^{i+j}$ é o cofator.

---

Exemplo de Expansão por Cofatores:

Considere a matriz $3 \times 3$:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

O determinante de $A$ pode ser calculado pela expansão da primeira linha:

$$\text{det}(A) = 1 \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} - 2 \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} + 3 \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

---

Conclusão 🏁

O determinante de uma matriz é uma ferramenta poderosa e fundamental na álgebra linear. Ele fornece informações essenciais sobre a matriz, como sua invertibilidade e as propriedades geométricas associadas a transformações lineares.