Operações com Matrizes

 

As matrizes são uma parte fundamental da álgebra linear e possuem várias operações que podem ser realizadas sobre elas. Essas operações são úteis para resolver sistemas lineares, transformações lineares, e diversas outras aplicações na matemática, física e computação.

Aqui está um resumo detalhado das operações com matrizes:

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1. Adição de Matrizes ➕

A adição de matrizes é realizada somando os elementos correspondentes de duas matrizes. Para que isso seja possível, as matrizes devem ter a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas).

Definição:

Se $A = [a_{ij}]$ e $B = [b_{ij}]$ são duas matrizes de ordem $m \times n$, então a soma $A + B$ é uma matriz $C = [c_{ij}]$, onde:

$$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \quad \text{para todo } i, j.$$

Exemplo:

Se temos as matrizes:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

A soma de $A + B$ é:

$$A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}.$$

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2. Subtração de Matrizes ➖

A subtração de matrizes é semelhante à adição, mas subtrai os elementos correspondentes de duas matrizes de mesma ordem.

Definição:

Se $A = [a_{ij}]$ e $B = [b_{ij}]$ são duas matrizes de ordem $m \times n$, então a subtração $A - B$ é uma matriz $C = [c_{ij}]$, onde:

$$c_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \quad \text{para todo } i, j.$$

Exemplo:

Se temos as matrizes:

$$A = \begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 9 & 11 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$$

A subtração de $A - B$ é:

$$A - B = \begin{bmatrix} 5-2 & 7-3 \\ 9-4 & 11-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}.$$

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3. Multiplicação de Matrizes ✖️

A multiplicação de matrizes é uma operação mais complexa. Para que duas matrizes possam ser multiplicadas, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz.

Definição:

Se $A$ é uma matriz de ordem $m \times n$ e $B$ é uma matriz de ordem $n \times p$, a multiplicação $A \times B$ resulta em uma matriz $C$ de ordem $m \times p$, cujos elementos $c_{ij}$ são dados pela soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de $A$ e das colunas de $B$:

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$$

onde $a_{ik}$ é o elemento da linha $i$ de $A$ e $b_{kj}$ é o elemento da coluna $j$ de $B$.

Exemplo:

Se temos:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

A multiplicação $A \times B$ é:

$$A \times B = \begin{bmatrix} (1*5 + 2*7) & (1*6 + 2*8) \\ (3*5 + 4*7) & (3*6 + 4*8) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}.$$

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4. Multiplicação de uma Matriz por um Escalar 🔢

A multiplicação de uma matriz por um escalar é feita multiplicando cada elemento da matriz pelo escalar.

Definição:

Se $A = [a_{ij}]$ é uma matriz de ordem $m \times n$ e $c$ é um escalar, então o produto de $A$ por $c$ é uma matriz $C = [c_{ij}]$, onde:

$$c_{ij} = c \cdot a_{ij} \quad \text{para todo } i, j.$$

Exemplo:

Se temos:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad c = 3$$

O produto $3A$ é:

$$3A = \begin{bmatrix} 3*1 & 3*2 \\ 3*3 & 3*4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}.$$

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5. Transposta de uma Matriz 🔄

A transposta de uma matriz é uma operação que troca suas linhas por colunas (ou seja, os elementos $a_{ij}$ se tornam $a_{ji}$).

Definição:

Se $A = [a_{ij}]$ é uma matriz de ordem $m \times n$, a transposta de $A$, denotada por $A^T$, é uma matriz de ordem $n \times m$, cujos elementos são dados por:

$$A^T = [a_{ji}] \quad \text{para todo } i, j.$$

Exemplo:

Se temos:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

A transposta de $A$ é:

$$A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$$

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6. Determinante de uma Matriz 🔺

O determinante de uma matriz quadrada (uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas) é um número que oferece informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível.

Definição:

• Para uma matriz $2 \times 2$:

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \quad \text{det}(A) = ad - bc.$$

• Para uma matriz $3 \times 3$, o determinante é mais complexo e envolve a regra de Sarrus ou expansão por cofatores.

Exemplo:

Para a matriz:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

O determinante é:

$$\text{det}(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2.$$

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7. Inversa de uma Matriz 🔁

A matriz inversa de uma matriz quadrada $A$ é a matriz $A^{-1}$ tal que:

$$A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I,$$

onde $I$ é a matriz identidade.

Condições:

A matriz $A$ deve ser invertível (ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero).

Exemplo:

Para a matriz:

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$$

A matriz inversa $A^{-1}$ é dada por:

$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.$$

Se $\text{det}(A) = 4(6) - 7(2) = 24 - 14 = 10$, então:

$$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}.$$

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Conclusão 🏁

Essas são as principais operações com matrizes que você pode realizar. Elas são fundamentais para a solução de sistemas de equações lineares, transformações lineares, análise de sistemas dinâmicos e muitas outras aplicações em diversas áreas da matemática e da ciência.