Limites e Derivadas
Limites
Um limite é um valor que uma função se aproxima à medida que seu argumento se aproxima de um determinado valor.
Notação de Limites
A notação de limites é usada para representar o valor de uma função à medida que seu argumento se aproxima de um determinado valor. A notação mais comum é:
lim_{x->a} f(x) = L
O que significa que o valor da função f(x) se aproxima de L à medida que x se aproxima de a.
Tipos de Limites
Existem vários tipos de limites, dependendo da função e do valor que está sendo abordado.
- Limite de uma constante
O limite de uma constante é simplesmente o valor da constante.
lim_{x->a} c = c
- Limite de uma função linear
O limite de uma função linear é o valor da inclinação da reta à medida que x se aproxima de a.
lim_{x->a} mx+b = m
- Limite de uma função exponencial
O limite de uma função exponencial é o valor da função à medida que x se aproxima de infinito ou de zero.
lim_{x->+inf} a^x = +inf
lim_{x->-inf} a^x = 0
- Limite de uma função logarítmica
O limite de uma função logarítmica é o valor da função à medida que x se aproxima de infinito ou de zero.
lim_{x->+inf} log(x) = +inf
lim_{x->-inf} log(x) = -inf
Exemplos de Limites
Limite de uma constante
lim_{x->2} 3 = 3
Limite de uma função linear
lim_{x->2} 2x+1 = 5
Limite de uma função exponencial
lim_{x->+inf} 2^x = +inf
Limite de uma função logarítmica
lim_{x->+inf} log(x) = +inf
Derivadas
A derivada de uma função é uma função que mede a taxa de variação da função.
Notação de Derivadas
A notação de derivadas é usada para representar a derivada de uma função. A notação mais comum é:
f'(x) = lim_{h->0} (f(x+h)-f(x))/h
O que significa que a derivada de f(x) é o limite da diferença entre f(x+h) e f(x) dividida por h, à medida que h se aproxima de zero.
Regras de Derivadas
Existem várias regras de derivadas que podem ser usadas para calcular a derivada de funções simples.
- Regra do Constante
d/dx[c] = 0
- Regra da Linearidade
d/dx[mx+b] = m
- Regra da Exponencial
d/dx[a^x] = a^x ln(a)
- Regra da Logarítmica
d/dx[log(x)] = 1/x
Exemplos de Derivadas
Derivada de uma constante
f(x) = 3
f'(x) = d/dx[3] = 0
Derivada de uma função linear
f(x) = 2x+1
f'(x) = d/dx[2x+1] = 2
Derivada de uma função exponencial
f(x) = 2^x
f'(x) = d/dx[2^x] = 2^x ln(2)
Derivada de uma função logarítmica
f(x) = log(x)
f'(x) = d/dx[log(x)] = 1/x
Aplicação de Limites e Derivadas em Engenharia Mecânica
Limites e derivadas são conceitos fundamentais em engenharia