Métodos de Solução para EDOs 🔍🧠

Resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) significa encontrar uma função que satisfaz a equação. Dependendo da forma e ordem da EDO, há diferentes métodos para resolvê-la. Abaixo estão os principais métodos, organizados por tipo e ordem da equação.

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🔹 1. Separação de Variáveis

Usado em EDOs de 1ª ordem que podem ser escritas como:

$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$

Passos:

1. Separar: $\frac{dy}{g(y)} = f(x) dx$

2. Integrar ambos os lados.

3. Resolver para $y$, se possível.

Exemplo:

$$\frac{dy}{dx} = y \Rightarrow \frac{dy}{y} = dx \Rightarrow \ln|y| = x + C \Rightarrow y = Ce^x$$

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🔹 2. Equações Lineares de 1ª Ordem

Forma padrão:

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

Fator Integrante:

$$\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$$

Solução:

$$y(x) = \frac{1}{\mu(x)} \int \mu(x)Q(x)dx$$

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🔹 3. Equações Exatas

Forma:

$$M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$$

Verificar se:

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$

Solução:

1. Encontrar uma função $F(x, y)$ tal que:

   $$\frac{\partial F}{\partial x} = M \quad \text{e} \quad \frac{\partial F}{\partial y} = N$$

2. A solução é $F(x, y) = C$

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🔹 4. EDOs Homogêneas de 1ª Ordem

Forma:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{F(y/x)}{G(y/x)}$$

Substituição:

$$v = \frac{y}{x} \Rightarrow y = vx \Rightarrow \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$$

Substitui e resolve por separação de variáveis.

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🔹 5. EDOs com Substituição (Mudança de Variável)

Algumas EDOs não são diretamente separáveis ou lineares, mas se tornam com a substituição certa.

Exemplo:

$$\frac{dy}{dx} = (x + y)^2 \Rightarrow u = x + y$$

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🔹 6. Equações de Bernoulli

Forma:

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$$

Substituição:

$$z = y^{1 - n}$$

Transforma em equação linear.

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🔹 7. Equações de Riccati

Forma:

$$\frac{dy}{dx} = a(x)y^2 + b(x)y + c(x)$$

Se conhecemos uma solução particular $y_1$, podemos transformar a equação em uma de Bernoulli com:

$$y = y_1 + \frac{1}{u}$$

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🔹 8. EDOs de 2ª Ordem Lineares com Coeficientes Constantes

Forma geral:

$$ay'' + by' + cy = 0$$

Equação característica:

$$ar^2 + br + c = 0$$

As raízes determinam a forma da solução:

• Duas reais diferentes: $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$

• Reais iguais: $y = (C_1 + C_2 x)e^{r x}$

• Complexas: $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$

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🔹 9. Método de Variação de Parâmetros

Usado em EDOs não homogêneas do tipo:

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$$

Passos:

1. Encontrar a solução geral da homogênea associada.

2. Usar funções $u_1(x)$, $u_2(x)$ como multiplicadores das soluções da homogênea.

3. Resolver um sistema para encontrar $u_1$ e $u_2$.

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🔹 10. Método de Coeficientes Indeterminados

Rápido e eficaz para equações do tipo:

$$y'' + ay' + by = f(x)$$

Quando $f(x)$ é um polinômio, exponencial ou função trigonométrica. Propõe-se uma solução particular genérica, depois determina-se os coeficientes substituindo na equação.

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🔹 11. Métodos Numéricos (quando não há solução analítica) 🧮

Quando não conseguimos uma solução exata, usamos métodos numéricos:

• Euler (simples, mas menos preciso)

• Runge-Kutta (RK4) – muito usado em engenharia e ciências.

• Métodos com softwares (Matlab, Python, etc.)

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🧩 Resumo dos Métodos por Tipo de EDO

Tipo de EDO	Método Ideal
1ª ordem separável	Separação de variáveis
1ª ordem linear	Fator integrante
Exata	Verificação e integração
Bernoulli	Substituição $z = y^{1-n}$
2ª ordem homogênea	Equação característica
2ª ordem não homogênea	Coef. indeterminados ou variação de parâmetros
Sem solução analítica	Métodos numéricos (Euler, RK4)