Teoria dos Números

 

🔢 Teoria dos Números – A Matemática dos Inteiros

A Teoria dos Números é um ramo clássico e fascinante da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros, especialmente aqueles relacionados à divisibilidade, primos, congruência e equações diofantinas.

Ela é considerada uma das áreas mais puras da matemática – simples de entender, mas profunda em desafios.

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📌 Principais Conceitos da Teoria dos Números

1. 🔹 Números Primos

São números inteiros maiores que 1 que só têm dois divisores: 1 e eles mesmos.

📌 Exemplos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...

• Todo número inteiro maior que 1 é ou primo ou composto.

• O número 1 não é primo.

2. 🔹 Divisibilidade

Estuda quando um número é divisível por outro.

📌 Exemplo:
24 é divisível por 6, pois $24 \div 6 = 4$ (sem resto).

Critérios comuns:

• Divisível por 2 → termina em número par

• Divisível por 3 → soma dos dígitos é múltiplo de 3

• E assim por diante...

3. 🔹 Máximo Divisor Comum (MDC)

Maior número que divide dois inteiros simultaneamente.

4. 🔹 Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Menor número que é múltiplo comum entre dois inteiros.

📌 Exemplo:
MDC(24, 36) = 12
MMC(4, 6) = 12

5. 🔹 Algoritmo de Euclides

Método rápido para encontrar o MDC de dois números.

6. 🔹 Números Perfeitos

Número cuja soma dos divisores próprios (excluindo ele mesmo) é igual ao próprio número.

📌 Exemplo:
6 é perfeito → 1 + 2 + 3 = 6

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🔄 Congruência Módulo n

Dois inteiros $a$ e $b$ são congruentes módulo n se divididos por $n$ resultam no mesmo resto:

$$a \equiv b \mod n$$

📌 Exemplo:
17 ≡ 5 (mod 12) → pois ambos deixam resto 5 quando divididos por 12.

➕ Operações com congruência:

Se $a \equiv b \mod n$ e $c \equiv d \mod n$, então:

• $a + c \equiv b + d \mod n$

• $a \cdot c \equiv b \cdot d \mod n$

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✳️ Funções Importantes

• Função Totiente de Euler $\varphi(n)$: conta quantos números inteiros até $n$ são coprimos com $n$.

• Crivo de Eratóstenes: algoritmo para encontrar todos os primos até um certo número.

• Teorema Fundamental da Aritmética: todo número inteiro > 1 pode ser decomposto unicamente em fatores primos.

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📚 Aplicações da Teoria dos Números

• Criptografia (ex: RSA)

• Segurança de dados

• Computação modular

• Verificação de códigos (CPF, códigos de barras)

• Análise de algoritmos

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🧠 Curiosidade:

Pierre de Fermat, um dos pais da Teoria dos Números, escreveu seu famoso "Último Teorema" na margem de um livro:
"Encontrei uma demonstração maravilhosa, mas esta margem é muito estreita para contê-la."
(E essa prova só foi descoberta mais de 350 anos depois!)